adjoint.RdThe adjoint \(\mathrm{ad}_X\) of \(X\) is a map from a Lie group \(G\) to the endomorphism group of \(G\) defined by
$$\mathrm{ad}_X(Y)=\left[X,Y\right]$$
ad(x)details here
Vignette adjoint gives more description
x <- rfalg()
y <- rfalg()
f <- ad(x)
f(y)
#> free algebra element algebraically equal to
#> - aaccabac - 5aaccabbb - 2aaccac - 7aaccbc - 6aaccc - 4aacccbba - 3aaccccbb +
#> abacaacc + 4abacac + 7abacc + 3abaccac + 6abaccb + 7abaccccb + 5abbbaacc +
#> 20abbbac + 35abbbc + 15abbbcac + 30abbbcb + 35abbbcccb + 2acaacc - 4acabac -
#> 20acabbb - 28acbc - 10acc + 6accac + 12accb - 16accbba - 12acccbb + 14accccb +
#> 7bcaacc + 28bcac + 49bcc + 21bccac + 42bccb + 49bccccb + 6caacc - 7cabac -
#> 35cabbb + 10cac - 3cacabac - 15cacabbb - 6cacac - 21cacbc - 18cacc - 12caccbba
#> - 9cacccbb - 6cbabac - 30cbabbb - 12cbac + 4cbbaaacc + 16cbbaac + 28cbbac +
#> 12cbbacac + 24cbbacb + 28cbbacccb - 42cbbc - 85cbc - 24cbcbba - 18cbccbb +
#> 18ccac + 36ccb - 28ccbba + 3ccbbaacc + 12ccbbac + 21ccbbc + 9ccbbcac + 18ccbbcb
#> + 21ccbbcccb - 7cccbabac - 35cccbabbb - 14cccbac - 21cccbb - 49cccbbc - 42cccbc
#> - 28cccbcbba - 21cccbccbb + 42ccccb
f(f(y)) # [x,[x,y]]
#> free algebra element algebraically equal to
#> + aaccabacabac + 5aaccabacabbb + 2aaccabacac + 7aaccabacbc + 6aaccabacc +
#> 4aaccabaccbba + 3aaccabacccbb + 5aaccabbbabac + 25aaccabbbabbb + 10aaccabbbac +
#> 35aaccabbbbc + 30aaccabbbc + 20aaccabbbcbba + 15aaccabbbccbb + 2aaccacabac +
#> 10aaccacabbb + 4aaccacac + 14aaccacbc + 12aaccacc + 8aaccaccbba + 6aaccacccbb +
#> 7aaccbcabac + 35aaccbcabbb + 14aaccbcac + 49aaccbcbc + 42aaccbcc + 28aaccbccbba
#> + 21aaccbcccbb + 6aacccabac + 30aacccabbb + 12aacccac + 4aacccbbaabac +
#> 20aacccbbaabbb + 8aacccbbaac + 28aacccbbabc + 24aacccbbac + 16aacccbbacbba +
#> 12aacccbbaccbb + 42aacccbc + 36aacccc + 24aaccccbba + 3aaccccbbabac +
#> 15aaccccbbabbb + 6aaccccbbac + 21aaccccbbbc + 18aaccccbbc + 12aaccccbbcbba +
#> 9aaccccbbccbb + 18aacccccbb - 2abacaaccabac - 10abacaaccabbb - 4abacaaccac -
#> 14abacaaccbc - 12abacaaccc - 8abacaacccbba - 6abacaaccccbb + abacabacaacc +
#> 4abacabacac + 7abacabacc + 3abacabaccac + 6abacabaccb + 7abacabaccccb +
#> 5abacabbbaacc + 20abacabbbac + 35abacabbbc + 15abacabbbcac + 30abacabbbcb +
#> 35abacabbbcccb + 2abacacaacc - 8abacacabac - 40abacacabbb - 8abacacac -
#> 56abacacbc - 34abacacc + 6abacaccac + 12abacaccb - 32abacaccbba - 24abacacccbb
#> + 14abacaccccb + 7abacbcaacc + 28abacbcac + 49abacbcc + 21abacbccac +
#> 42abacbccb + 49abacbccccb + 6abaccaacc - 14abaccabac - 70abaccabbb - 4abaccac -
#> 6abaccacabac - 30abaccacabbb - 12abaccacac - 42abaccacbc - 36abaccacc -
#> 24abaccaccbba - 18abaccacccbb - 12abaccbabac - 60abaccbabbb - 24abaccbac +
#> 4abaccbbaaacc + 16abaccbbaac + 28abaccbbac + 12abaccbbacac + 24abaccbbacb +
#> 28abaccbbacccb - 84abaccbbc - 170abaccbc - 48abaccbcbba - 36abaccbccbb -
#> 42abaccc + 18abacccac + 36abacccb - 56abacccbba + 3abacccbbaacc + 12abacccbbac
#> + 21abacccbbc + 9abacccbbcac + 18abacccbbcb + 21abacccbbcccb - 14abaccccbabac -
#> 70abaccccbabbb - 28abaccccbac - 42abaccccbb - 98abaccccbbc - 84abaccccbc -
#> 56abaccccbcbba - 42abaccccbccbb + 42abacccccb - 10abbbaaccabac - 50abbbaaccabbb
#> - 20abbbaaccac - 70abbbaaccbc - 60abbbaaccc - 40abbbaacccbba - 30abbbaaccccbb +
#> 5abbbabacaacc + 20abbbabacac + 35abbbabacc + 15abbbabaccac + 30abbbabaccb +
#> 35abbbabaccccb + 25abbbabbbaacc + 100abbbabbbac + 175abbbabbbc + 75abbbabbbcac
#> + 150abbbabbbcb + 175abbbabbbcccb + 10abbbacaacc - 40abbbacabac - 200abbbacabbb
#> - 40abbbacac - 280abbbacbc - 170abbbacc + 30abbbaccac + 60abbbaccb -
#> 160abbbaccbba - 120abbbacccbb + 70abbbaccccb + 35abbbbcaacc + 140abbbbcac +
#> 245abbbbcc + 105abbbbccac + 210abbbbccb + 245abbbbccccb + 30abbbcaacc -
#> 70abbbcabac - 350abbbcabbb - 20abbbcac - 30abbbcacabac - 150abbbcacabbb -
#> 60abbbcacac - 210abbbcacbc - 180abbbcacc - 120abbbcaccbba - 90abbbcacccbb -
#> 60abbbcbabac - 300abbbcbabbb - 120abbbcbac + 20abbbcbbaaacc + 80abbbcbbaac +
#> 140abbbcbbac + 60abbbcbbacac + 120abbbcbbacb + 140abbbcbbacccb - 420abbbcbbc -
#> 850abbbcbc - 240abbbcbcbba - 180abbbcbccbb - 210abbbcc + 90abbbccac +
#> 180abbbccb - 280abbbccbba + 15abbbccbbaacc + 60abbbccbbac + 105abbbccbbc +
#> 45abbbccbbcac + 90abbbccbbcb + 105abbbccbbcccb - 70abbbcccbabac -
#> 350abbbcccbabbb - 140abbbcccbac - 210abbbcccbb - 490abbbcccbbc - 420abbbcccbc -
#> 280abbbcccbcbba - 210abbbcccbccbb + 210abbbccccb - 4acaaccabac - 20acaaccabbb -
#> 8acaaccac - 28acaaccbc - 24acaaccc - 16acaacccbba - 12acaaccccbb + 2acabacaacc
#> + 4acabacabac + 20acabacabbb + 16acabacac + 28acabacbc + 38acabacc + 6acabaccac
#> + 12acabaccb + 16acabaccbba + 12acabacccbb + 14acabaccccb + 10acabbbaacc +
#> 20acabbbabac + 100acabbbabbb + 80acabbbac + 140acabbbbc + 190acabbbc +
#> 30acabbbcac + 60acabbbcb + 80acabbbcbba + 60acabbbccbb + 70acabbbcccb +
#> 4acacaacc - 8acacabac - 40acacabbb - 56acacbc - 20acacc + 12acaccac + 24acaccb
#> - 32acaccbba - 24acacccbb + 28acaccccb + 14acbcaacc + 28acbcabac + 140acbcabbb
#> + 112acbcac + 196acbcbc + 266acbcc + 42acbccac + 84acbccb + 112acbccbba +
#> 84acbcccbb + 98acbccccb + 12accaacc - 4accabac - 20accabbb + 40accac -
#> 12accacabac - 60accacabbb - 24accacac - 84accacbc - 72accacc - 48accaccbba -
#> 36accacccbb - 24accbabac - 120accbabbb - 48accbac + 8accbbaaacc + 16accbbaabac
#> + 80accbbaabbb + 64accbbaac + 112accbbabc + 152accbbac + 24accbbacac +
#> 48accbbacb + 64accbbacbba + 48accbbaccbb + 56accbbacccb - 168accbbc - 172accbc
#> - 96accbcbba - 72accbccbb + 60accc + 36acccac + 72acccb - 16acccbba +
#> 6acccbbaacc + 12acccbbabac + 60acccbbabbb + 48acccbbac + 84acccbbbc +
#> 114acccbbc + 18acccbbcac + 36acccbbcb + 48acccbbcbba + 36acccbbccbb +
#> 42acccbbcccb - 28accccbabac - 140accccbabbb - 56accccbac - 12accccbb -
#> 196accccbbc - 168accccbc - 112accccbcbba - 84accccbccbb + 84acccccb -
#> 14bcaaccabac - 70bcaaccabbb - 28bcaaccac - 98bcaaccbc - 84bcaaccc -
#> 56bcaacccbba - 42bcaaccccbb + 7bcabacaacc + 28bcabacac + 49bcabacc +
#> 21bcabaccac + 42bcabaccb + 49bcabaccccb + 35bcabbbaacc + 140bcabbbac +
#> 245bcabbbc + 105bcabbbcac + 210bcabbbcb + 245bcabbbcccb + 14bcacaacc -
#> 56bcacabac - 280bcacabbb - 56bcacac - 392bcacbc - 238bcacc + 42bcaccac +
#> 84bcaccb - 224bcaccbba - 168bcacccbb + 98bcaccccb + 49bcbcaacc + 196bcbcac +
#> 343bcbcc + 147bcbccac + 294bcbccb + 343bcbccccb + 42bccaacc - 98bccabac -
#> 490bccabbb - 28bccac - 42bccacabac - 210bccacabbb - 84bccacac - 294bccacbc -
#> 252bccacc - 168bccaccbba - 126bccacccbb - 84bccbabac - 420bccbabbb - 168bccbac
#> + 28bccbbaaacc + 112bccbbaac + 196bccbbac + 84bccbbacac + 168bccbbacb +
#> 196bccbbacccb - 588bccbbc - 1190bccbc - 336bccbcbba - 252bccbccbb - 294bccc +
#> 126bcccac + 252bcccb - 392bcccbba + 21bcccbbaacc + 84bcccbbac + 147bcccbbc +
#> 63bcccbbcac + 126bcccbbcb + 147bcccbbcccb - 98bccccbabac - 490bccccbabbb -
#> 196bccccbac - 294bccccbb - 686bccccbbc - 588bccccbc - 392bccccbcbba -
#> 294bccccbccbb + 294bcccccb - 12caaccabac - 60caaccabbb - 24caaccac - 84caaccbc
#> - 72caaccc - 48caacccbba - 36caaccccbb + 6cabacaacc + 7cabacabac + 35cabacabbb
#> + 38cabacac + 49cabacbc + 84cabacc + 18cabaccac + 36cabaccb + 28cabaccbba +
#> 21cabacccbb + 42cabaccccb + 30cabbbaacc + 35cabbbabac + 175cabbbabbb +
#> 190cabbbac + 245cabbbbc + 420cabbbc + 90cabbbcac + 180cabbbcb + 140cabbbcbba +
#> 105cabbbccbb + 210cabbbcccb + 12cacaacc - 34cacabac + 3cacabacabac +
#> 15cacabacabbb + 6cacabacac + 21cacabacbc + 18cacabacc + 12cacabaccbba +
#> 9cacabacccbb - 170cacabbb + 15cacabbbabac + 75cacabbbabbb + 30cacabbbac +
#> 105cacabbbbc + 90cacabbbc + 60cacabbbcbba + 45cacabbbccbb - 20cacac +
#> 6cacacabac + 30cacacabbb + 12cacacac + 42cacacbc + 36cacacc + 24cacaccbba +
#> 18cacacccbb - 238cacbc + 21cacbcabac + 105cacbcabbb + 42cacbcac + 147cacbcbc +
#> 126cacbcc + 84cacbccbba + 63cacbcccbb - 120cacc + 18caccabac + 90caccabbb +
#> 72caccac + 72caccb - 136caccbba + 12caccbbaabac + 60caccbbaabbb + 24caccbbaac +
#> 84caccbbabc + 72caccbbac + 48caccbbacbba + 36caccbbaccbb + 126caccbc + 108caccc
#> - 102cacccbb + 72cacccbba + 9cacccbbabac + 45cacccbbabbb + 18cacccbbac +
#> 63cacccbbbc + 54cacccbbc + 36cacccbbcbba + 27cacccbbccbb + 84caccccb +
#> 54caccccbb + 6cbabacabac + 30cbabacabbb + 12cbabacac + 42cbabacbc + 36cbabacc +
#> 24cbabaccbba + 18cbabacccbb + 30cbabbbabac + 150cbabbbabbb + 60cbabbbac +
#> 210cbabbbbc + 180cbabbbc + 120cbabbbcbba + 90cbabbbccbb + 12cbacabac +
#> 60cbacabbb + 24cbacac + 84cbacbc + 72cbacc + 48cbaccbba + 36cbacccbb -
#> 8cbbaaaccabac - 40cbbaaaccabbb - 16cbbaaaccac - 56cbbaaaccbc - 48cbbaaaccc -
#> 32cbbaaacccbba - 24cbbaaaccccbb + 4cbbaabacaacc + 16cbbaabacac + 28cbbaabacc +
#> 12cbbaabaccac + 24cbbaabaccb + 28cbbaabaccccb + 20cbbaabbbaacc + 80cbbaabbbac +
#> 140cbbaabbbc + 60cbbaabbbcac + 120cbbaabbbcb + 140cbbaabbbcccb + 8cbbaacaacc -
#> 32cbbaacabac - 160cbbaacabbb - 32cbbaacac - 224cbbaacbc - 136cbbaacc +
#> 24cbbaaccac + 48cbbaaccb - 128cbbaaccbba - 96cbbaacccbb + 56cbbaaccccb +
#> 28cbbabcaacc + 112cbbabcac + 196cbbabcc + 84cbbabccac + 168cbbabccb +
#> 196cbbabccccb + 24cbbacaacc - 56cbbacabac - 280cbbacabbb - 16cbbacac -
#> 24cbbacacabac - 120cbbacacabbb - 48cbbacacac - 168cbbacacbc - 144cbbacacc -
#> 96cbbacaccbba - 72cbbacacccbb - 48cbbacbabac - 240cbbacbabbb - 96cbbacbac +
#> 16cbbacbbaaacc + 64cbbacbbaac + 112cbbacbbac + 48cbbacbbacac + 96cbbacbbacb +
#> 112cbbacbbacccb - 336cbbacbbc - 680cbbacbc - 192cbbacbcbba - 144cbbacbccbb -
#> 168cbbacc + 72cbbaccac + 144cbbaccb - 224cbbaccbba + 12cbbaccbbaacc +
#> 48cbbaccbbac + 84cbbaccbbc + 36cbbaccbbcac + 72cbbaccbbcb + 84cbbaccbbcccb -
#> 56cbbacccbabac - 280cbbacccbabbb - 112cbbacccbac - 168cbbacccbb - 392cbbacccbbc
#> - 336cbbacccbc - 224cbbacccbcbba - 168cbbacccbccbb + 168cbbaccccb + 42cbbcabac
#> + 210cbbcabbb + 84cbbcac + 294cbbcbc + 252cbbcc + 168cbbccbba + 126cbbcccbb +
#> 42cbcaacc + 85cbcabac + 425cbcabbb + 338cbcac + 24cbcbbaabac + 120cbcbbaabbb +
#> 48cbcbbaac + 168cbcbbabc + 144cbcbbac + 96cbcbbacbba + 72cbcbbaccbb + 595cbcbc
#> + 804cbcc + 126cbccac + 252cbccb + 340cbccbba + 18cbccbbabac + 90cbccbbabbb +
#> 36cbccbbac + 126cbccbbbc + 108cbccbbc + 72cbccbbcbba + 54cbccbbccbb +
#> 255cbcccbb + 294cbccccb + 36ccaacc - 42ccabac - 210ccabbb + 60ccac - 36ccacabac
#> - 180ccacabbb - 72ccacac - 252ccacbc - 216ccacc - 144ccaccbba - 108ccacccbb -
#> 72ccbabac - 360ccbabbb - 144ccbac + 24ccbbaaacc + 28ccbbaabac + 140ccbbaabbb +
#> 152ccbbaac - 6ccbbaaccabac - 30ccbbaaccabbb - 12ccbbaaccac - 42ccbbaaccbc -
#> 36ccbbaaccc - 24ccbbaacccbba - 18ccbbaaccccbb + 3ccbbabacaacc + 12ccbbabacac +
#> 21ccbbabacc + 9ccbbabaccac + 18ccbbabaccb + 21ccbbabaccccb + 15ccbbabbbaacc +
#> 60ccbbabbbac + 105ccbbabbbc + 45ccbbabbbcac + 90ccbbabbbcb + 105ccbbabbbcccb +
#> 196ccbbabc + 336ccbbac + 6ccbbacaacc - 24ccbbacabac - 120ccbbacabbb +
#> 48ccbbacac + 144ccbbacb + 112ccbbacbba - 168ccbbacbc - 102ccbbacc + 18ccbbaccac
#> + 36ccbbaccb + 84ccbbaccbb - 96ccbbaccbba + 168ccbbacccb - 72ccbbacccbb +
#> 42ccbbaccccb + 21ccbbbcaacc + 84ccbbbcac + 147ccbbbcc + 63ccbbbccac +
#> 126ccbbbccb + 147ccbbbccccb - 504ccbbc + 18ccbbcaacc - 42ccbbcabac -
#> 210ccbbcabbb - 12ccbbcac - 18ccbbcacabac - 90ccbbcacabbb - 36ccbbcacac -
#> 126ccbbcacbc - 108ccbbcacc - 72ccbbcaccbba - 54ccbbcacccbb - 36ccbbcbabac -
#> 180ccbbcbabbb - 72ccbbcbac + 12ccbbcbbaaacc + 48ccbbcbbaac + 84ccbbcbbac +
#> 36ccbbcbbacac + 72ccbbcbbacb + 84ccbbcbbacccb - 252ccbbcbbc - 510ccbbcbc -
#> 144ccbbcbcbba - 108ccbbcbccbb - 126ccbbcc + 54ccbbccac + 108ccbbccb -
#> 168ccbbccbba + 9ccbbccbbaacc + 36ccbbccbbac + 63ccbbccbbc + 27ccbbccbbcac +
#> 54ccbbccbbcb + 63ccbbccbbcccb - 42ccbbcccbabac - 210ccbbcccbabbb - 84ccbbcccbac
#> - 126ccbbcccbb - 294ccbbcccbbc - 252ccbbcccbc - 168ccbbcccbcbba -
#> 126ccbbcccbccbb + 126ccbbccccb - 726ccbc - 288ccbcbba - 216ccbccbb + 108cccac +
#> 216cccb + 7cccbabacabac + 35cccbabacabbb + 14cccbabacac + 49cccbabacbc +
#> 42cccbabacc + 28cccbabaccbba + 21cccbabacccbb + 35cccbabbbabac +
#> 175cccbabbbabbb + 70cccbabbbac + 245cccbabbbbc + 210cccbabbbc + 140cccbabbbcbba
#> + 105cccbabbbccbb + 14cccbacabac + 70cccbacabbb + 28cccbacac + 98cccbacbc +
#> 84cccbacc + 56cccbaccbba + 42cccbacccbb - 168cccbba + 18cccbbaacc + 21cccbbabac
#> + 105cccbbabbb + 114cccbbac + 147cccbbbc + 252cccbbc + 49cccbbcabac +
#> 245cccbbcabbb + 152cccbbcac + 108cccbbcb + 84cccbbcbba + 343cccbbcbc +
#> 294cccbbcc + 63cccbbccbb + 196cccbbccbba + 126cccbbcccb + 147cccbbcccbb +
#> 42cccbcabac + 210cccbcabbb + 84cccbcac + 28cccbcbbaabac + 140cccbcbbaabbb +
#> 56cccbcbbaac + 196cccbcbbabc + 168cccbcbbac + 112cccbcbbacbba + 84cccbcbbaccbb
#> + 294cccbcbc + 252cccbcc + 168cccbccbba + 21cccbccbbabac + 105cccbccbbabbb +
#> 42cccbccbbac + 147cccbccbbbc + 126cccbccbbc + 84cccbccbbcbba + 63cccbccbbccbb +
#> 126cccbcccbb - 84ccccbabac - 420ccccbabbb - 168ccccbac - 126ccccbb - 588ccccbbc
#> - 504ccccbc - 336ccccbcbba - 252ccccbccbb + 252cccccb