adjoint.RdThe adjoint \(\mathrm{ad}_X\) of \(X\) is a map from a Lie group \(G\) to the endomorphism group of \(G\) defined by
$$\mathrm{ad}_X(Y)=\left[X,Y\right]$$
ad(x)Vignette adjoint gives more description
x <- rfalg()
y <- rfalg()
f <- ad(x)
f(y)
#> free algebra element algebraically equal to
#> - 42aaacc - 21aabbb + 42aacca + 12aaccac + 36aaccb + 18aaccc + 6aacccac +
#> 24aacccb + 30aacccccb + 21abbba + 6abbbac + 18abbbb + 9abbbc + 3abbbcac +
#> 12abbbcb + 15abbbcccb - 35abc - 77ac - 12acaacc - 6acabbb - 14acbba - 10acbc -
#> 22acc - 7accbb - 4accbba - 2acccbb - 36baacc - 18babbb - 30bbc - 66bc + 35bca +
#> 10bcac + 30bcb - 12bcbba + 15bcc + 5bccac + 20bccb - 6bccbb + 25bccccb + 77ca -
#> 18caacc - 9cabbb + 22cac - 6cacaacc - 3cacabbb - 5cacbc - 11cacc - 2caccbba -
#> cacccbb + 66cb - 24cbaacc - 12cbabbb + 14cbbaa + 4cbbaac + 12cbbab + 6cbbac +
#> 2cbbacac + 8cbbacb + 10cbbacccb - 20cbbc - 59cbc - 8cbcbba - 4cbccbb + 11ccac +
#> 44ccb + ccbba + 2ccbbac + 6ccbbb + 3ccbbc + ccbbcac + 4ccbbcb + 5ccbbcccb -
#> 30cccbaacc - 15cccbabbb - 3cccbb - 25cccbbc - 55cccbc - 10cccbcbba - 5cccbccbb
#> + 55ccccb
f(f(y)) # [x, [x, y]]
#> free algebra element algebraically equal to
#> + 252aaaccaacc + 126aaaccabbb + 210aaaccbc + 462aaaccc + 84aaacccbba +
#> 42aaaccccbb + 126aabbbaacc + 63aabbbabbb + 105aabbbbc + 231aabbbc + 42aabbbcbba
#> + 21aabbbccbb - 504aaccaaacc - 252aaccaabbb + 252aaccaacca + 72aaccaaccac +
#> 216aaccaaccb + 108aaccaaccc + 36aaccaacccac + 144aaccaacccb + 180aaccaacccccb +
#> 126aaccabbba + 36aaccabbbac + 108aaccabbbb + 54aaccabbbc + 18aaccabbbcac +
#> 72aaccabbbcb + 90aaccabbbcccb - 420aaccabc - 924aaccac - 144aaccacaacc -
#> 72aaccacabbb - 168aaccacbba - 120aaccacbc - 264aaccacc - 84aaccaccbb -
#> 48aaccaccbba - 24aaccacccbb - 432aaccbaacc - 216aaccbabbb - 360aaccbbc -
#> 792aaccbc + 210aaccbca + 60aaccbcac + 180aaccbcb - 144aaccbcbba + 90aaccbcc +
#> 30aaccbccac + 120aaccbccb - 72aaccbccbb + 150aaccbccccb + 462aaccca -
#> 216aacccaacc - 108aacccabbb + 132aacccac - 72aacccacaacc - 36aacccacabbb -
#> 60aacccacbc - 132aacccacc - 24aacccaccbba - 12aacccacccbb + 396aacccb -
#> 288aacccbaacc - 144aacccbabbb + 84aacccbbaa + 24aacccbbaac + 72aacccbbab +
#> 36aacccbbac + 12aacccbbacac + 48aacccbbacb + 60aacccbbacccb - 240aacccbbc -
#> 708aacccbc - 96aacccbcbba - 48aacccbccbb - 198aacccc + 66aaccccac + 264aaccccb
#> - 30aaccccbba + 12aaccccbbac + 36aaccccbbb + 18aaccccbbc + 6aaccccbbcac +
#> 24aaccccbbcb + 30aaccccbbcccb - 360aacccccbaacc - 180aacccccbabbb - 36aacccccbb
#> - 300aacccccbbc - 660aacccccbc - 120aacccccbcbba - 60aacccccbccbb +
#> 330aaccccccb - 252abbbaaacc - 126abbbaabbb + 126abbbaacca + 36abbbaaccac +
#> 108abbbaaccb + 54abbbaaccc + 18abbbaacccac + 72abbbaacccb + 90abbbaacccccb +
#> 63abbbabbba + 18abbbabbbac + 54abbbabbbb + 27abbbabbbc + 9abbbabbbcac +
#> 36abbbabbbcb + 45abbbabbbcccb - 210abbbabc - 462abbbac - 72abbbacaacc -
#> 36abbbacabbb - 84abbbacbba - 60abbbacbc - 132abbbacc - 42abbbaccbb -
#> 24abbbaccbba - 12abbbacccbb - 216abbbbaacc - 108abbbbabbb - 180abbbbbc -
#> 396abbbbc + 105abbbbca + 30abbbbcac + 90abbbbcb - 72abbbbcbba + 45abbbbcc +
#> 15abbbbccac + 60abbbbccb - 36abbbbccbb + 75abbbbccccb + 231abbbca -
#> 108abbbcaacc - 54abbbcabbb + 66abbbcac - 36abbbcacaacc - 18abbbcacabbb -
#> 30abbbcacbc - 66abbbcacc - 12abbbcaccbba - 6abbbcacccbb + 198abbbcb -
#> 144abbbcbaacc - 72abbbcbabbb + 42abbbcbbaa + 12abbbcbbaac + 36abbbcbbab +
#> 18abbbcbbac + 6abbbcbbacac + 24abbbcbbacb + 30abbbcbbacccb - 120abbbcbbc -
#> 354abbbcbc - 48abbbcbcbba - 24abbbcbccbb - 99abbbcc + 33abbbccac + 132abbbccb -
#> 15abbbccbba + 6abbbccbbac + 18abbbccbbb + 9abbbccbbc + 3abbbccbbcac +
#> 12abbbccbbcb + 15abbbccbbcccb - 180abbbcccbaacc - 90abbbcccbabbb - 18abbbcccbb
#> - 150abbbcccbbc - 330abbbcccbc - 60abbbcccbcbba - 30abbbcccbccbb + 165abbbccccb
#> + 210abcaacc + 105abcabbb + 175abcbc + 385abcc + 70abccbba + 35abcccbb +
#> 462acaacc + 72acaaccaacc + 36acaaccabbb + 60acaaccbc + 132acaaccc +
#> 24acaacccbba + 12acaaccccbb + 231acabbb + 36acabbbaacc + 18acabbbabbb +
#> 30acabbbbc + 66acabbbc + 12acabbbcbba + 6acabbbccbb + 84acbbaaacc + 42acbbaabbb
#> + 70acbbabc + 154acbbac + 28acbbacbba + 14acbbaccbb + 385acbc + 60acbcaacc +
#> 30acbcabbb + 50acbcbc + 110acbcc + 20acbccbba + 10acbcccbb + 847acc +
#> 132accaacc + 66accabbb + 154accbba + 24accbbaaacc + 12accbbaabbb + 42accbbaacc
#> + 21accbbabbb + 20accbbabc + 44accbbac + 8accbbacbba + 4accbbaccbb + 35accbbbc
#> + 77accbbc + 14accbbcbba + 7accbbccbb + 110accbc + 242accc + 77acccbb +
#> 44acccbba + 12acccbbaacc + 6acccbbabbb + 10acccbbbc + 22acccbbc + 4acccbbcbba +
#> 2acccbbccbb + 22accccbb + 216baaccaacc + 108baaccabbb + 180baaccbc + 396baaccc
#> + 72baacccbba + 36baaccccbb + 108babbbaacc + 54babbbabbb + 90babbbbc +
#> 198babbbc + 36babbbcbba + 18babbbccbb + 180bbcaacc + 90bbcabbb + 150bbcbc +
#> 330bbcc + 60bbccbba + 30bbcccbb - 420bcaaacc - 210bcaabbb + 396bcaacc +
#> 210bcaacca + 60bcaaccac + 180bcaaccb + 90bcaaccc + 30bcaacccac + 120bcaacccb +
#> 150bcaacccccb + 198bcabbb + 105bcabbba + 30bcabbbac + 90bcabbbb + 45bcabbbc +
#> 15bcabbbcac + 60bcabbbcb + 75bcabbbcccb - 350bcabc - 770bcac - 120bcacaacc -
#> 60bcacabbb - 140bcacbba - 100bcacbc - 220bcacc - 70bcaccbb - 40bcaccbba -
#> 20bcacccbb - 360bcbaacc - 180bcbabbb + 72bcbbaaacc + 36bcbbaabbb + 60bcbbabc +
#> 132bcbbac + 24bcbbacbba + 12bcbbaccbb - 300bcbbc - 330bcbc + 175bcbca +
#> 50bcbcac + 150bcbcb - 120bcbcbba + 75bcbcc + 25bcbccac + 100bcbccb - 60bcbccbb
#> + 125bcbccccb + 726bcc + 385bcca - 180bccaacc - 90bccabbb + 110bccac -
#> 60bccacaacc - 30bccacabbb - 50bccacbc - 110bccacc - 20bccaccbba - 10bccacccbb +
#> 330bccb - 240bccbaacc - 120bccbabbb + 132bccbba + 70bccbbaa + 20bccbbaac +
#> 36bccbbaacc + 60bccbbab + 18bccbbabbb + 30bccbbac + 10bccbbacac + 40bccbbacb +
#> 50bccbbacccb + 30bccbbbc - 134bccbbc + 12bccbbcbba + 6bccbbccbb - 590bccbc -
#> 80bccbcbba - 40bccbccbb - 165bccc + 55bcccac + 220bcccb + 66bcccbb - 25bcccbba
#> + 10bcccbbac + 30bcccbbb + 15bcccbbc + 5bcccbbcac + 20bcccbbcb + 25bcccbbcccb -
#> 300bccccbaacc - 150bccccbabbb - 30bccccbb - 250bccccbbc - 550bccccbc -
#> 100bccccbcbba - 50bccccbccbb + 275bcccccb - 924caaacc - 462caabbb + 462caacca +
#> 108caaccaacc + 54caaccabbb + 132caaccac + 396caaccb + 90caaccbc + 396caaccc +
#> 66caacccac + 264caacccb + 36caacccbba + 18caaccccbb + 330caacccccb + 231cabbba
#> + 54cabbbaacc + 27cabbbabbb + 66cabbbac + 198cabbbb + 45cabbbbc + 198cabbbc +
#> 33cabbbcac + 132cabbbcb + 18cabbbcbba + 9cabbbccbb + 165cabbbcccb - 770cabc -
#> 1694cac - 264cacaacc + 36cacaaccaacc + 18cacaaccabbb + 30cacaaccbc + 66cacaaccc
#> + 12cacaacccbba + 6cacaaccccbb - 132cacabbb + 18cacabbbaacc + 9cacabbbabbb +
#> 15cacabbbbc + 33cacabbbc + 6cacabbbcbba + 3cacabbbccbb - 308cacbba - 220cacbc +
#> 30cacbcaacc + 15cacbcabbb + 25cacbcbc + 55cacbcc + 10cacbccbba + 5cacbcccbb -
#> 484cacc + 66caccaacc + 33caccabbb - 154caccbb - 88caccbba + 12caccbbaaacc +
#> 6caccbbaabbb + 10caccbbabc + 22caccbbac + 4caccbbacbba + 2caccbbaccbb +
#> 55caccbc + 121caccc - 44cacccbb + 22cacccbba + 6cacccbbaacc + 3cacccbbabbb +
#> 5cacccbbbc + 11cacccbbc + 2cacccbbcbba + cacccbbccbb + 11caccccbb - 792cbaacc +
#> 144cbaaccaacc + 72cbaaccabbb + 120cbaaccbc + 264cbaaccc + 48cbaacccbba +
#> 24cbaaccccbb - 396cbabbb + 72cbabbbaacc + 36cbabbbabbb + 60cbabbbbc +
#> 132cbabbbc + 24cbabbbcbba + 12cbabbbccbb - 168cbbaaaacc - 84cbbaaabbb +
#> 84cbbaaacca + 24cbbaaaccac + 72cbbaaaccb + 36cbbaaaccc + 12cbbaaacccac +
#> 48cbbaaacccb + 60cbbaaacccccb + 42cbbaabbba + 12cbbaabbbac + 36cbbaabbbb +
#> 18cbbaabbbc + 6cbbaabbbcac + 24cbbaabbbcb + 30cbbaabbbcccb - 140cbbaabc -
#> 308cbbaac - 48cbbaacaacc - 24cbbaacabbb - 56cbbaacbba - 40cbbaacbc - 88cbbaacc
#> - 28cbbaaccbb - 16cbbaaccbba - 8cbbaacccbb - 144cbbabaacc - 72cbbababbb -
#> 120cbbabbc - 264cbbabc + 70cbbabca + 20cbbabcac + 60cbbabcb - 48cbbabcbba +
#> 30cbbabcc + 10cbbabccac + 40cbbabccb - 24cbbabccbb + 50cbbabccccb + 154cbbaca -
#> 72cbbacaacc - 36cbbacabbb + 44cbbacac - 24cbbacacaacc - 12cbbacacabbb -
#> 20cbbacacbc - 44cbbacacc - 8cbbacaccbba - 4cbbacacccbb + 132cbbacb -
#> 96cbbacbaacc - 48cbbacbabbb + 28cbbacbbaa + 8cbbacbbaac + 24cbbacbbab +
#> 12cbbacbbac + 4cbbacbbacac + 16cbbacbbacb + 20cbbacbbacccb - 80cbbacbbc -
#> 236cbbacbc - 32cbbacbcbba - 16cbbacbccbb - 66cbbacc + 22cbbaccac + 88cbbaccb -
#> 10cbbaccbba + 4cbbaccbbac + 12cbbaccbbb + 6cbbaccbbc + 2cbbaccbbcac +
#> 8cbbaccbbcb + 10cbbaccbbcccb - 120cbbacccbaacc - 60cbbacccbabbb - 12cbbacccbb -
#> 100cbbacccbbc - 220cbbacccbc - 40cbbacccbcbba - 20cbbacccbccbb + 110cbbaccccb -
#> 660cbbc + 120cbbcaacc + 60cbbcabbb + 100cbbcbc + 220cbbcc + 40cbbccbba +
#> 20cbbcccbb - 1452cbc + 385cbca + 354cbcaacc + 177cbcabbb + 110cbcac + 330cbcb -
#> 264cbcbba + 48cbcbbaaacc + 24cbcbbaabbb + 40cbcbbabc + 88cbcbbac + 16cbcbbacbba
#> + 8cbcbbaccbb + 295cbcbc + 814cbcc + 55cbccac + 220cbccb - 132cbccbb +
#> 118cbccbba + 24cbccbbaacc + 12cbccbbabbb + 20cbccbbbc + 44cbccbbc + 8cbccbbcbba
#> + 4cbccbbccbb + 59cbcccbb + 275cbccccb + 847cca - 198ccaacc - 99ccabbb +
#> 242ccac - 132ccacaacc - 66ccacabbb - 110ccacbc - 242ccacc - 44ccaccbba -
#> 22ccacccbb + 726ccb - 528ccbaacc - 264ccbabbb + 154ccbbaa - 48ccbbaaacc -
#> 24ccbbaabbb + 44ccbbaac + 42ccbbaacca + 12ccbbaaccac + 36ccbbaaccb +
#> 18ccbbaaccc + 6ccbbaacccac + 24ccbbaacccb + 30ccbbaacccccb + 132ccbbab +
#> 21ccbbabbba + 6ccbbabbbac + 18ccbbabbbb + 9ccbbabbbc + 3ccbbabbbcac +
#> 12ccbbabbbcb + 15ccbbabbbcccb - 40ccbbabc - 22ccbbac - 24ccbbacaacc -
#> 12ccbbacabbb + 22ccbbacac + 88ccbbacb - 16ccbbacbba - 20ccbbacbc - 44ccbbacc -
#> 8ccbbaccbb - 8ccbbaccbba + 110ccbbacccb - 4ccbbacccbb - 72ccbbbaacc -
#> 36ccbbbabbb - 60ccbbbbc - 132ccbbbc + 35ccbbbca + 10ccbbbcac + 30ccbbbcb -
#> 24ccbbbcbba + 15ccbbbcc + 5ccbbbccac + 20ccbbbccb - 12ccbbbccbb + 25ccbbbccccb
#> - 440ccbbc + 77ccbbca - 36ccbbcaacc - 18ccbbcabbb + 22ccbbcac - 12ccbbcacaacc -
#> 6ccbbcacabbb - 10ccbbcacbc - 22ccbbcacc - 4ccbbcaccbba - 2ccbbcacccbb +
#> 66ccbbcb - 48ccbbcbaacc - 24ccbbcbabbb + 14ccbbcbbaa + 4ccbbcbbaac +
#> 12ccbbcbbab + 6ccbbcbbac + 2ccbbcbbacac + 8ccbbcbbacb + 10ccbbcbbacccb -
#> 40ccbbcbbc - 118ccbbcbc - 16ccbbcbcbba - 8ccbbcbccbb - 33ccbbcc + 11ccbbccac +
#> 44ccbbccb - 5ccbbccbba + 2ccbbccbbac + 6ccbbccbbb + 3ccbbccbbc + ccbbccbbcac +
#> 4ccbbccbbcb + 5ccbbccbbcccb - 60ccbbcccbaacc - 30ccbbcccbabbb - 6ccbbcccbb -
#> 50ccbbcccbbc - 110ccbbcccbc - 20ccbbcccbcbba - 10ccbbcccbccbb + 55ccbbccccb -
#> 1133ccbc - 176ccbcbba - 88ccbccbb + 121cccac + 484cccb + 180cccbaaccaacc +
#> 90cccbaaccabbb + 150cccbaaccbc + 330cccbaaccc + 60cccbaacccbba + 30cccbaaccccbb
#> + 90cccbabbbaacc + 45cccbabbbabbb + 75cccbabbbbc + 165cccbabbbc +
#> 30cccbabbbcbba + 15cccbabbbccbb + 11cccbba + 18cccbbaacc + 9cccbbabbb +
#> 22cccbbac + 66cccbbb + 15cccbbbc + 66cccbbc + 150cccbbcaacc + 75cccbbcabbb +
#> 11cccbbcac + 44cccbbcb + 6cccbbcbba + 125cccbbcbc + 275cccbbcc + 3cccbbccbb +
#> 50cccbbccbba + 55cccbbcccb + 25cccbbcccbb + 330cccbcaacc + 165cccbcabbb +
#> 60cccbcbbaaacc + 30cccbcbbaabbb + 50cccbcbbabc + 110cccbcbbac + 20cccbcbbacbba
#> + 10cccbcbbaccbb + 275cccbcbc + 605cccbcc + 110cccbccbba + 30cccbccbbaacc +
#> 15cccbccbbabbb + 25cccbccbbbc + 55cccbccbbc + 10cccbccbbcbba + 5cccbccbbccbb +
#> 55cccbcccbb - 660ccccbaacc - 330ccccbabbb - 33ccccbb - 550ccccbbc - 1210ccccbc
#> - 220ccccbcbba - 110ccccbccbb + 605cccccb